통계 - 카이제곱(𝔁 ²) 검정 (2) / 엑셀

앞 선 글에서 말한 것처럼 카이제곱 검정은 범주형 데이터의

• 이미 알고있는 내용과 내가 관측한 내용이 일치할까(적합도 검정)
• 서로 다른 두 범주형 데이터의 연관관계가 있을까(독립성 검정)

이 두 가지 여부를 파악하는 것이다.

 

카이제곱 검정통계량은 다음과 같이 구한다

카이제곱 검정통계량

𝔁 ² = ((관측값1 - 기대값1) ^ 2) / 기대값1 +  ((관측값2 - 기대값2) ^ 2) / 기대값2 + ....

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적합도 검정

앞 선 글에서 우리가 예제로 봤던 동전 던지기는 적합도 검정이다.

다른 예시로 엑셀에서 구해보자

 

예제) 음주운전 계절별 적발 건수

일반적으로 음주운전은 겨울철에 더 많이 발생하는 것으로 알려져 있다.

철수는 그 사실이 맞는지 알기 위해 1년동안 열심히 관찰을 했다.

과연 계절에 따른 음주운전 적발 건수는 통계적으로 유의미한 차이가 있을까?(유의수준 : 5%)

 

H0 : 계절별 음주운전 적발 건수는 유의미한 차이가 없을 것이다.

H1 : 계절별 음주운전 적발 건수는 유의미한 차이가 있을 것이다

비고	기대비율	기대값	관측값	((관측값i - 기대값i) ^ 2) / 기대값i	자유도
봄	25%	125	94	7.688	3
여름	25%	125	142	2.312
가을	25%	125	108	2.312
겨울	25%	125	156	7.688
합계	100%	500	500	20

1) 각 계절별로 ((관측값1 - 기대값1) ^ 2) / 기대값1 한 뒤 모두 더해 𝔁 ² 통계량을 구한다.

  𝔁 ² = 20

2) 자유도를 구한다.

   행 갯수 - 1 = 4 - 1 = 3 

 

3) 카이제곱분포표를 통해 임계값을 구한다.

임계값 : 7.81

 

 

4) 결론

𝔁 ² = 20 / 자유도 3, 유의수준 5%의 임계값은 7.81

𝔁 ² > 7.81 이므로

귀무가설을 기각한다.

음주운전 적발 건수는 계절별로 유의미한 차이가 있다.

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독립성 검정

예제) 새로운 중국집의 중점 메뉴 선정

A 학교 앞에 있는 중국집은 학생들에게 엄청난 인기를 구가하고 있다.

중국집 주인은 새로운 지점 두 곳을 내기로 했다.

새 지점 앞에도 학교가 있는데 공학이 아닌 남고, 여고였다!이에 중국집 주인은 새로운 지점은 어떤 메뉴를 메인으로 할지 고민에 빠졌다.과연 남학생 여학생 간 선호하는 메뉴가 다를까? (유의수준 : 5%)

 

H0 : 성별 간 선호하는 메뉴의 차이는 유의미 하지 않을 것이다.

H1 : 성별 간 선호하는 메뉴의 차이는 유의미 할 것이다.(종속적이다)

 

* 중국집 이용학생 설문조사 결과

 

관측치	짜장	짬뽕	마라탕	합계	자유도
남학생	18	15	10	43	2
여학생	17	15	25	57
합계	35	30	35	100

 

1) 기대값 구하기

기대값을 구하는 방법은 간단하다.

(각 행의 합) * (각 열의 합) / 전체 데이터 수 를 하면 된다

예를 들어 짜장면을 고른 남학생의 기대값을 구하자 한다면

남학생 행의 합(43) * 짜장면을 고른 열의 합(35) / 전체 데이터 수(100) 을 하게되면 된다.

 

기대치	짜장	짬뽕	마라탕	합계
남학생	35 * 43 / 100 = 15.05	30 * 43 / 100 = 12.9	35 * 43 / 100 = 15.05	43
여학생	35 * 57 / 100 = 19.95	30 * 57 / 100 = 17.1	35 * 57 / 100 = 19.95	57
합계	35	30	35	100

 

2) 자유도 구하기

행렬 상태의 데이터에서 자유도는

(행의 갯수 - 1) * (열의 갯수 - 1)을 하면 된다

이 표에서 자유도는 (2 - 1) * (3 - 1) = 1 * 2 = 2

자유도는 2가 된다.

 

3)  𝔁 ² 통계량 구하기

카이제곱 통계량은 적합도에서 구한 것처럼 구하면 된다

각각 (관측치 - 기대치) ^ 2 / 기대치를 모두 더한 값

𝔁 ² 통계량	짜장	짬뽕	마라탕	합계
남학생	0.578239	0.34186	1.694518	2.614618
여학생	0.436216	0.257895	1.278321	1.972431
합계	1.014455	0.599755	2.972839	4.587049

𝔁 ²  = 4.587049

 

4) 임계치 구하기

유의수준 5%, 자유도 2일 때 임계치는 5.99이다.

임계치 : 5.99

 

 

5) 결론

𝔁 ²  = 4.587049 / 유의수준 5%, 자유도 2일 때 임계치는 5.99

𝔁 ² < 5.99 이므로

귀무가설을 기각할 수 없다.

H0 : 성별 간 선호하는 메뉴의 차이는 유의미 하지 않을 것이다.